http://www.news.wisc.edu/13497.html
February 26, 2007
by Paroma Basu
數學家終於擺平圍繞在一組難以理解的數學式子（即 mock theta functions，擬θ函數）四周所剩下來的傳奇式謎題。
數論家都努力的想要理解這個函數，印度有史以來最偉大的數學家 Srinivasa Ramanujan，首先在 1920 年，他生命垂危時，於一封書信當中略為提到它們。
現在，使用 Ramanujan 身後出現的數學技巧，Wisconsin-Madison 大學的二位理論家已經拼湊出一個解釋性的架構，那首次描繪出所謂的 mock theta functions 到底是什麼東西，以及如何推導出它們。
在解析這個數論中長存未解的問題上，他們的新理論，證明是十分有價值的。此外，UW-Madison 的進展，將首次讓研究者能夠把 mock theta functions 應用到不同領域的問題中，包括物理、化學以及數學其他幾個分支。這項發現出現在一系列三篇論文當中，第三篇刊載於今日的 Proceedings of the National Academy of Sciences 上。
"那可以相當令人滿足的說，我們已經解開了 'Ramanujan 的最後難題'，" 共同作者 Ken Ono，UW-Madison Manasse Professor of Letters and Science 表示，他因對數論的貢獻而受到廣泛注意。"我們真的很幸運。"
Ono 與 UW-Madison 的德國博士後研究者 Kathrin Bringmann 共同研究。
"那是某些我真的認為沒有人能夠辦到的東西，" George Andrews，賓州大學的領導數論學家，他在 2000 年稱 mock theta functions 是這個新千禧年中最困難的數學謎題之一。"那真是一項相當傑出的工作，令人無法透氣的精彩成就。"
從 Ramanujan 的信件開始研究，數論家相信 mock theta functions 與一組充分理解的數學式子 -- 'theta' 函數 -- 有關，那已經用了幾世紀。'theta' 函數由某一連續數字構成，那被證明對於不同種類的數學分析問題相當有用。
Mock theta functions 同樣構成一組無限序列的數字。不過讓人完全困惑的是，是『什麼』讓 mock theta series 如此豐富與強大。數十年來 -- 在各處數學家的詫異之下 -- mock theta functions 在不同領域的計算當中都有所收穫，包括：數學、物理、化學甚至是癌症研究。
讓 mock theta functions 更加難以理解的是一件事實，Ramanujan 信件的前面幾頁都已經遺失。這些頁面可能包含更多線索，不過因為它們的缺席，這些信件只不過呈現出這個函數的 17 個例子。所遺失的是對於這些函數是什麼的定義，以及關於任何導出它們的暗示，而且任何對於它們為何如此的指示甚至更重要。
在 Ramanujan 剛寫下這些信件 2 個月後，這些祕密都隨之而去，當時他因結核病，得年 32。
"想像將 1000 個隨機單字串在一起，然後說你完成了最美的詩句，" Ono 說。"這基本上就是 Ramanujan 為我們所做的。"
Bringmann 與 Ono 藉由另一族相對來說較新穎的數學式子，找到一種方式來呈現 mock theta functions 的威力，這些數學式子稱之為 Harmonic Maass Forms。
荷蘭一位名叫 Sander Zwegers 的數學家已在 2002 年指出它的重要關連，不過他只專注在 Ramanujan 的例子。
在飛往新罕布夏的過程中， Ono 了解到，Zwegers 研究的全面深度與意義。快速瀏覽過去的期刊後，Ono 碰巧遇見了一篇由 George Andrews 所寫關於 mock theta functions 的老文章。突然間，他注意到這篇論文中的某些數學家與 Harmonic Maass 的部份理論產生了共鳴，他與Bringmann 就為了其他理由，在那時開始發展。
數學家們發現這項關連漂亮的幫了他們。"我們知道我們正走在某個正確的道路上，" Ono 說。"那是一種相當奇怪的巧合，導致我們產生這樣的解。那猶如它們全都剛好落在我們膝上，而現在我們僥倖能夠將我們的理論應用在這個長久以來的難題上。"
＊ 探求「無限」奧秘的數學家 -- Srinivasa Ramanujan (上)（PDF）
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDI3My8yNzMwNw==
＊ 探求「無限」奧秘的數學家 -- Srinivasa Ramanujan (下)（PDF）
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDI3NC8yNzQwNQ==
＊ 拉馬努金 - Wikipedia
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91
＊ Amazon.com: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius
Ramanujan（Ramanujan 的唯一傳記）
http://www.amazon.com/Man-Who-Knew-Infinity-Ramanujan/dp/0671750615
＊ 無限大的祕密：突破科學與想像極限的「無限」簡史
http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010354897
＊ The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks,
http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/098.pdf
K. Bringmann and K. Ono,
Inventiones Mathematicae, 165, 2006, pp. 243-266.
＊ Dyson's ranks and Maass forms,
http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/102.pdf
K. Bringmann and K. Ono,
Annals of Mathematics, accepted for publication.
http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/106.pdf
K. Bringmann and K. Ono,
Proceedings of the National Academy of Sciences, USA ,
accepted for publication.
