數學符號表及其唸法

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花豹斑紋如何形成？ 數學解密

【記者陳亮諭／台中市報導】

花豹、美洲豹身上美麗斑紋，是如何從斑點發展形成漂亮圖騰？中興大學物理系教授廖思善的研究團隊發現，可用數學方程式解出來。這項研究成果在國際性期刊Nature八月期刊發表。

廖思善與物理系助教博士生劉瑞堂、牛津大學數學系教授Philip Maini費時一年餘合力研究，以數學家涂林（有計算機理論創始者之稱）在一九五二年提出的「反應─擴散」方程式，套入不同的參數，在電腦上模擬出花豹與美洲豹的斑紋，以數學方程式解釋花紋演變過程。

廖思善說明其中原理表示，一滴牛奶滴入清水中，乳白液體在清水中會形成圖形，但圖型漸擴散後與水又溶為一體。因此很多人認為擴散會導致圖案消滅，但涂林從生物斑紋角度觀察，提出擴散是形成圖案的概念。

涂林認為生物斑紋有兩個「成形素」，這兩個化學物在生物斑紋成形過程中，有相互牽引的作用。例如一個成形素造成毛髮變黑，另一個使毛髮保持蒼白。這些化學物穿過毛皮的擴散率不同，並隨著兩者間繁複作用，決定斑紋花樣形式。

廖思善說，為印證這一理論，研究團隊一開始以「反應─擴散」方程式，成功地模擬出瓢蟲、斑馬等簡單的動物斑紋。因花豹及美洲豹除花紋漂亮且更為複雜，還有神祕色彩傳說，引起團隊進一步研究興趣。

「花豹與美洲豹的斑紋，都由一個點開始，漸長大後擴散演變成不同形狀。」他指出，美洲豹毛皮花樣為最困難部分，必須將方程式分成兩個階段，第一階段演算模擬出點的斑紋，之後演變進入第二階段，再透過電腦模擬出來。廖思善說，有了這項研究心得，團隊下一步將研究蛇紋。

【2006/09/01 聯合報】

※ 相關報導：

＊ Mathematical biology: Spot the difference
http://www.nature.com/nature/journal/v442/n7103/full/442604a.html
http://www.nchu.edu.tw/New_nchu/know02.php?news_sn=3518

＊ Two-stage Turing model for generating pigment patterns on the
leopard and the jaguar
http://tinyurl.com/zby3a

科學家解開 mock theta functions 之謎

UW scientists unlock major number theory puzzle

http://www.news.wisc.edu/13497.html

February 26, 2007
by Paroma Basu

數學家終於擺平圍繞在一組難以理解的數學式子（即 mock theta functions，擬θ函數）四周所剩下來的傳奇式謎題。

數論家都努力的想要理解這個函數，印度有史以來最偉大的數學家 Srinivasa Ramanujan，首先在 1920 年，他生命垂危時，於一封書信當中略為提到它們。

現在，使用 Ramanujan 身後出現的數學技巧，Wisconsin-Madison 大學的二位理論家已經拼湊出一個解釋性的架構，那首次描繪出所謂的 mock theta functions 到底是什麼東西，以及如何推導出它們。

在解析這個數論中長存未解的問題上，他們的新理論，證明是十分有價值的。此外，UW-Madison 的進展，將首次讓研究者能夠把 mock theta functions 應用到不同領域的問題中，包括物理、化學以及數學其他幾個分支。這項發現出現在一系列三篇論文當中，第三篇刊載於今日的 Proceedings of the National Academy of Sciences 上。

"那可以相當令人滿足的說，我們已經解開了 'Ramanujan 的最後難題'，" 共同作者 Ken Ono，UW-Madison Manasse Professor of Letters and Science 表示，他因對數論的貢獻而受到廣泛注意。"我們真的很幸運。"

Ono 與 UW-Madison 的德國博士後研究者 Kathrin Bringmann 共同研究。

"那是某些我真的認為沒有人能夠辦到的東西，" George Andrews，賓州大學的領導數論學家，他在 2000 年稱 mock theta functions 是這個新千禧年中最困難的數學謎題之一。"那真是一項相當傑出的工作，令人無法透氣的精彩成就。"

從 Ramanujan 的信件開始研究，數論家相信 mock theta functions 與一組充分理解的數學式子 -- 'theta' 函數 -- 有關，那已經用了幾世紀。'theta' 函數由某一連續數字構成，那被證明對於不同種類的數學分析問題相當有用。

Mock theta functions 同樣構成一組無限序列的數字。不過讓人完全困惑的是，是『什麼』讓 mock theta series 如此豐富與強大。數十年來 -- 在各處數學家的詫異之下 -- mock theta functions 在不同領域的計算當中都有所收穫，包括：數學、物理、化學甚至是癌症研究。

讓 mock theta functions 更加難以理解的是一件事實，Ramanujan 信件的前面幾頁都已經遺失。這些頁面可能包含更多線索，不過因為它們的缺席，這些信件只不過呈現出這個函數的 17 個例子。所遺失的是對於這些函數是什麼的定義，以及關於任何導出它們的暗示，而且任何對於它們為何如此的指示甚至更重要。

在 Ramanujan 剛寫下這些信件 2 個月後，這些祕密都隨之而去，當時他因結核病，得年 32。

"想像將 1000 個隨機單字串在一起，然後說你完成了最美的詩句，" Ono 說。"這基本上就是 Ramanujan 為我們所做的。"

Bringmann 與 Ono 藉由另一族相對來說較新穎的數學式子，找到一種方式來呈現 mock theta functions 的威力，這些數學式子稱之為 Harmonic Maass Forms。

荷蘭一位名叫 Sander Zwegers 的數學家已在 2002 年指出它的重要關連，不過他只專注在 Ramanujan 的例子。

在飛往新罕布夏的過程中， Ono 了解到，Zwegers 研究的全面深度與意義。快速瀏覽過去的期刊後，Ono 碰巧遇見了一篇由 George Andrews 所寫關於 mock theta functions 的老文章。突然間，他注意到這篇論文中的某些數學家與 Harmonic Maass 的部份理論產生了共鳴，他與Bringmann 就為了其他理由，在那時開始發展。

數學家們發現這項關連漂亮的幫了他們。"我們知道我們正走在某個正確的道路上，" Ono 說。"那是一種相當奇怪的巧合，導致我們產生這樣的解。那猶如它們全都剛好落在我們膝上，而現在我們僥倖能夠將我們的理論應用在這個長久以來的難題上。"

＊ 探求「無限」奧秘的數學家 -- Srinivasa Ramanujan (上)（PDF）
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDI3My8yNzMwNw==

＊ 探求「無限」奧秘的數學家 -- Srinivasa Ramanujan (下)（PDF）
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDI3NC8yNzQwNQ==

＊ 拉馬努金 - Wikipedia
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91

＊ Amazon.com: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius
Ramanujan（Ramanujan 的唯一傳記）
http://www.amazon.com/Man-Who-Knew-Infinity-Ramanujan/dp/0671750615

＊ 無限大的祕密：突破科學與想像極限的「無限」簡史
http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010354897

＊ The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks,
http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/098.pdf
K. Bringmann and K. Ono,
Inventiones Mathematicae, 165, 2006, pp. 243-266.

＊ Dyson's ranks and Maass forms,
http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/102.pdf
K. Bringmann and K. Ono,
Annals of Mathematics, accepted for publication.

＊ Lifting elliptic cusp forms to Maass forms with an application to partitions
http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/106.pdf
K. Bringmann and K. Ono,
Proceedings of the National Academy of Sciences, USA ,
accepted for publication.

莫比爾斯帶的數學形狀

Shaping Up a Mobius Strip

http://www.sciam.com/article.cfm?articleID=D55BA3C5-E7F2-99DF-3B0A5A55D41B63FB&chanID=sa007

數學家終於算出 Escher 所沈思的形狀

By Sourish Basu / 2007.07.17

長久以來被說是一種奇特的數學物體，缺乏相分離的「內部」與「外部」，Mobius strips（莫比爾斯帶）也引發藝術家 M. C. Escher（荷蘭畫家，知名的作品包括 Drawing Hands 與Relativity）的想像力，他的畫作Mobius Strip II 有螞蟻出現在這個永遠無法停止爬的奇特表面上。你只要扭轉一下紙帶，然後把紙帶首尾相黏，就可以輕易製造它，它是一個只有單一表面與單一邊界的物體。Escher 在這條帶子上爬行的螞蟻們，會經過它所有的表面區域，但永遠不會橫渡邊界。

在 Mobius strips 被發現 150 年後，UCL 的科學家在 Nature Materials 上報告，若能給定它的長寬比（aspect ratio）以及製造這條帶子的材質的彈力特性，他們就能夠計算出這個奇特物體的精確形狀。

除了它們純數學的意義外，Mobius strips 有時也用於機械中：利用「兩邊」磨損相同的驅動皮帶（drive belts）在兩個滑輪之間傳遞能量。儘管它們歷史悠久，然而，如果你想要製造一條帶子，例如：用一條 3 吋寬、20 吋長的透明塑膠，沒有人能先驗地（priori）預測這些帶子看起來會怎樣。UCL 的科學家不只解開這個謎，他們也能算出像這樣一條給定長度的帶子，其最大寬度會是多少，解決了這個在 80 年前首次被問到的問題。

他們的成果是一組微分方程式，只要給定材料的彈力特性以及那張材料的長寬比就能解開。利用（彈性力學）非常普遍的最小位能原理（principle of minimal energy，這解釋了要折彎一根鋼棒是件很困難的事，因為折彎棒子具有較高的彈性位能），科學家可以解開這些等式，來預測Mobius strips 在靜止時的形狀。

除了在數學上解決這個長久以來的問題外，這項研究也為巨分子（macromolecules）及以 Mobius strips 形態成長的晶體（該製程在 2002 被開發出來）的結構特性分析預先鋪路。

※ 相關報導：

＊ The shape of a Mobius strip
http://www.nature.com/nmat/journal/vaop/ncurrent/abs/nmat1929.html
E. L. Starostin & G. H. M. van der Heijden
Nature Materials Published online: 15 July 2007 doi:10.1038/nmat1929

＊ Mobius strip - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip

＊ M. C. Escher - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher