| 時空，可能是由離散的小塊所堆積而成的…… |
撰文╱斯莫林（Lee Smolin），加拿大圓周理論物理研究學者 2004/02
翻譯／林世昀 |
環 圈量子重力理論預測，空間就像原子一樣：在測量體積的實驗中，我們只會得到一組離散數字的集合，體積由獨立的小塊組成。另一個我們可以測量的量是邊界B的 面積。一樣，運用本理論計算，所得到的結果亦是毫不含糊的：這個曲面的面積也是離散的。換言之，空間並不是連續的。它只由面積與體積的特定量子單位所構 成。
測量體積和面積時，可能得到的數值，是以所謂的「普朗克長度」（Planck length）為單位。這個長度與重力的強度、量子的大小和光速都有關。它標示了空間幾何不再連續的尺度。普朗克長度非常微小：10-33公分。非零的最小可能面積，就是普朗克長度的平方，也就是10-66平方公分。而非零的最小體積，則是普朗克長度的立方，10-99立方公分。因此，理論預測，每立方公分的空間裡，約有1099個空間量子。空間量子之微小，小到一立方公分裡的空間量子數目，竟比整個可見宇宙所包含的體積（1085立方公分）還多。
自旋網絡
關於時空，我們的理論還告訴了我們什麼？首先，這些體積與面積的量子態看起來像什麼？空間是由一堆小 方塊，還是小圓球所組成的？答案是：都不是，沒有那麼簡單。話說回來，我們還是可以畫出代表體積與面積量子態的圖示。對於研究這個領域的同行來說，這些圖 示非常漂亮，因為它們能連接到一個優雅的數學分枝。
要看這些圖示怎麼運作，可以想像我們有一塊形如正立方體的空間，如右頁圖所示。在我們的圖示中，我們 以一個點來描述這個正立方體，它代表一個體積元，還有六條線向外伸，每條代表正立方體的一個面。在這個點旁邊有一個數字，是用來標記體積的大小，而每條線 旁邊的數字，則標記著這條線所指表面的面積。
接著，假設我們在正立方體的頂面擺一個金字塔。這兩個共用同一個面的多面體，就用兩個點（兩個體積 元）和兩點之間連結的一條線（代表兩個多面體鄰接的面）來表示。正立方體還有其他五個面露出來（五條向外伸的線），金字塔則有四個（四條向外伸的線）。很 清楚的，除了正立方體與金字塔，含有其他形狀多面體的更複雜排列，都可以用這些點線圖示來加以描述：每個多面體的體積變成一個點，或稱「節點」，多面體的 每個平面則變成一條線，而連接節點的線，就代表多面體之間鄰接在一起的面。數學家便把這些線條圖示叫做「圖」（graph）。
現在，在我們的理論中，我們把多面體的形象丟掉，留著圖就好了。描述體積與面積量子態的數學會給我們 一套規則，讓我們知道節點和線要怎樣才能連接，以及圖裡頭哪裡可以放什麼數字等等。每個量子態都對應到其中一個圖，而每個合乎規則的圖也對應到一個量子 態。對所有可能的空間量子態來說，圖是一種很方便的速記法（量子態的數學與其他細節太複雜了，沒有辦法在這裡討論；我們最多只能展示一些相關的圖示而 已）。
比起多面體，圖是一種比較好的量子態表示法。尤其是，有些用奇怪方式連接的圖，並不能轉換成整齊的多 面體圖案。比如說，要是空間是彎曲的，不管我們用任何畫法，都不能把一堆多面體適當地嵌合在一起，可是，我們還是很容易把圖畫出來。的確，我們可以拿出一 個圖，然後由它算出空間的扭曲程度。由於空間的扭曲就是重力的來源，這些圖示便構成了重力的量子理論。
為了簡單起見，我們通常把圖畫成二維的，不過最好還是把他們想像是充填在三維空間中，因為那正是它們 所代表的。但這裡有個觀念上的陷阱：圖的線和節點並不是存在空間中的特定位置上。每個圖的定義，要視各個單元連接在一起的方式，以及它們與一個定義良好的 邊界（如邊界B）之間的關係。你用來想像「圖」的三維連續空間背景，並不能當做獨立於圖之外的一個實體。線和節點就是所有的存在；它們就是空間，而它們連 接的方式就定義了空間的幾何。
這些圖叫做「自旋網絡」（spin network），因為它們上頭標示的數字，和一種叫做「自旋」的量有關。這是英國牛津大學的彭若斯（Roger Penrose）在1970年代早期首先提出，而自旋網絡也許會在量子重力的理論中，扮演某種角色。1994年，當我們發現我們的精確計算與他的直覺不謀 而合時，不禁雀躍萬分。熟悉費曼圖（Feynman diagram）的讀者，應該已經注意到了，我們的自旋網絡並不是費曼圖，儘管它們從表面上看起來十分類似。費曼圖表示的是粒子間的量子作用力，是從一個 量子態進行到另一個量子態的；而我們的每個圖代表的卻是某個空間體積與面積的固定量子態。
圖裡頭個別的節點與邊線，代表的是空間的極小區域：一個典型的節點代表一個大小約為一個普朗克長度立 方的體積，一條典型的線則約代表一個普朗克長度平方的面積。不過原則上，對一個自旋網絡的大小和複雜度，我們的理論並沒有任何限制。如果我們能畫出一個我 們宇宙量子態的詳細圖像（亦即被星系、黑洞和其他物體的重力所彎曲的空間幾何），那麼，這個巨大的自旋網絡的複雜度是無法想像的，它的節點多達10184 個左右。
這些自旋網絡能描述空間的幾何，可是包含在那個空間中的所有物質跟能量要怎麼辦？那些佔據空間中某個 位置與區域的粒子與場，我們該如何表示呢？粒子（如電子）對應的是某些型式的節點，可在節點上加註更多的標記來表示；場（如電磁場）也可在圖中的線上加註 額外的標記來表示。至於粒子與場在空間中的移動，則以這些標記在圖上一步步的跳躍來表示。
一步一滴答
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| 時間猶如無數個時鐘的滴答聲，一格格地前進。 |
會移來移去的不只是粒子與場。根據廣義相對論，空間的幾何也會隨時間變化。空間的彎曲會 隨著物質與能量的移動而改變，其波動則可以像湖面上的漣漪般穿越空間（參見《科學人》2002年6月號〈時空漣漪〉）。在環圈量子重力中，這些過程便以圖 中的變化來表示。它們隨著時間，以連續若干「步」（move）的方式演化，每走一「步」，圖的連接性質都會改變（請見右頁圖例）。
當物理學家用量子力學來描述現象時，他們會去計算不同過程的或然率。我們應用環圈量子重力來描述現象 的時候，也是做相同的事情，不管是在描述粒子與場在自旋網絡上的移動，或是空間幾何本身隨時間的演化，都是一樣。特別一提的是，加拿大滑鐵盧圓周理論物理 研究院的提曼（Thomas Thiemann），已經導出自旋網絡步進的精確量子或然率。有了這些，整個理論就完全確立了：我們有完整定義的步驟，任何在我們理論規則的世界中，所能 發生的任何過程的或然率，都可以計算。剩下的就只是實際去計算，算出對各類實驗觀測結果的預測。
愛因斯坦的狹義與廣義相對論，把空間與時間結合成一個單一、融合的實體，稱為「時空」。而在環圈量子 重力裡用來表示空間的自旋網絡，則變身為我們所謂的「自旋沫」（spin foam），來納入時空的觀念。加入了另一個維度（時間），自旋網絡的線便長成了二維曲面，而節點則長成了線（見右頁的圖例）。自旋網絡變化的轉折處（之 前討論的「步」），現在就用泡沫中的線所匯合的節點來表示。時空的自旋沫圖像乃是由許多人所提出，包括羅維理、現於烏拉圭蒙特維迪亞大學的萊森柏格 （Mike Reisenberger）、英國諾丁漢大學的巴瑞特（John Barrett）、美國堪薩斯州立大學的克瑞恩（Louis Crane）、加州大學河濱分校的巴艾茲（John Baez），以及加拿大圓周理論物理研究院的馬可波羅（Fotini Markopoulou）。
用時空的方式來看，在某個特定時間的一張快照，就如同一張時空的橫面切片。在自旋沫上取一張這樣的切 片，就是一個自旋網絡。不過把這樣的切片，幻想成有如平滑的時間流般連續地變化，則是不對的。如同空間是用自旋網絡的離散幾何來定義一樣，時間也是由一序 列個別的步所定義，就如右頁圖例所示，每進一步，網絡就重新排列一次。如此一來，時間也就變成離散的了。時間並不像一條長河般地流動，而是如時鐘的滴答聲 一般，每「滴答」一次，就大約是一個普朗克時間：10-43秒。說得更精確些，我們的宇宙中，時間就是以數不清的時鐘滴答聲來流動；意思是，在自旋沫中每個量子「步」發生的位置，就有一個時鐘在此滴答一聲。
已通過數道檢驗關卡
我 已經略述了在普朗克尺度下，環圈量子重力對時間與空間有什麼說法，可是我們並沒有辦法考察這個尺度下的時空，來直接地驗證這個理論。這個尺度實在太小了。 所以，我們要怎樣來檢驗我們的理論呢？一個重要的檢驗是，我們能否從環圈量子重力導出一個近似理論，而它就是古典廣義相對論？換句話說，假如自旋網絡像是 織出一塊布的絲線，這就如同在問：我們是否能將幾千條絲線的性質加以平均，來算出這片布料正確的彈性。當自旋網絡在好多個普朗克長度之下做了平均以後，是 否能以一種與愛因斯坦古典理論的「平滑布料」約略相符的方式，來描述空間的幾何及其演化？這是個困難的問題，不過近來已經有學者在幾個特例（或可以說是物 質的某些形態）上有所進展。比如說，波長較長的重力波，在平坦（沒被彎曲）的時空中傳播，便可以描述為環圈量子重力理論中特定量子態的激發狀態。
另一個成果豐碩的檢驗，是針對一個長久以來重力物理與量子理論的謎：「黑洞熱力學」，特別是和無序性 有關的熵。我們來看看環圈量子重力對此有什麼說法。物理學家計算關於黑洞熱力學的預測，用的是一種混合的近似理論，其中的物質以量子力學處理，但時空並不 是。一個重力的完整量子理論，如環圈量子重力，應該要能重現這些預測。具體而言，1970年代，現於以色列耶路撒冷希伯來大學的柏肯斯坦（Jacob D. Bekenstein），曾推論黑洞熵必須正比於其表面積（參見《科學人》2003年9月號〈資訊、黑洞、全像宇宙〉）。不久之後，霍金（Stephen Hawking）推演出黑洞（特別是小黑洞）必須放出輻射。這些預言，名列過去30年中理論物理最偉大的成果。
為了用環圈重力理論做計算，我們將邊界B取為黑洞的事件視界。當我們分析有關量子態的熵時，我們所得 到的正完全符合柏肯斯坦的預測。同樣地，這個理論也重現了霍金對黑洞輻射的預言。事實上，它還對霍金輻射的精細結構做了更進一步的預測。只要有微小的黑洞 被觀測到，就可以研究從它發出的輻射光譜，來檢驗這項預測。話說回來，這可能是很久以後的事情，因為我們根本沒有製造黑洞的技術，更別提是小的還是大的 了。
實驗技術上的障礙
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| 空間是由一條條絲線所編織而成 |
的確，乍看之下，任何環圈量子重力的實驗檢測，都是技術上的巨大挑戰。麻煩在於，這個理 論所描述的特徵效應，只有在普朗克尺度這個微小的面積與體積量子下，才會變得明顯。比起目前計畫中最高能量的粒子加速器所能探測到的尺度（探測越短的距離 尺度，需要越高的能量），普朗克尺度還要小上16個數量級。由於我們無法運用加速器來達到普朗克尺度，許多人對於量子重力理論的驗證，已經不抱什麼希望 了。 不過，在過去幾年裡，已經有一些想像力豐富的年輕學者，想出了立即可行的新方法，來檢驗環圈量子重力的預測。這些方法靠的是光在穿越宇宙時的傳播過程。當 光穿過介質時，它的波長會受到一點扭曲，而導致一些偏折（就像光穿過水面所產生的效應）或是不同波長的色散效應。這些效應在光和粒子穿過自旋網絡所描述的 離散空間時，也會發生。
不幸的是，這些效應的大小和普朗克尺度對波長的比值成正比。對可見光來說，這個比值比10-28還 小；就算對至今測到過最強的宇宙射線來說，這個比值也只有十億分之一。對於任何我們能觀測到的輻射，空間的顆粒結構所產生的效應都非常小。但這些年輕學者 注意到，當光走過一段長距離時，這些效應會累積。因此我們可以去偵測來自數十億光年以外，如從γ射線爆發等事件（參見延伸閱讀2）所發射出來的光與粒子。
γ射線爆發會在非常短的爆炸內，噴發出能量範圍相當大的光子。烏拉圭共和國大學的甘比尼 （Rodolfo Gambini）、美國路易斯安那州立大學的普林（Jorge Pullin）與其他人用環圈量子重力所做的計算，預測不同能量的光子會以略微不同的速率行進，因此到達的時間會有些許差異（見左頁圖）。我們可以在γ射 線爆發的衛星觀測資料中尋找這個效應。目前為止的精確度，約為所需的千分之一，不過，預計在2006年升空的新觀測衛星「大區域γ射線太空望遠鏡」 （GLAST），將會有符合我們所需的精確度。
讀者也許會問，這個結果是否意味著愛因斯坦的狹義相對論是錯的，因為狹義相對論預測了光速恆為常數。 許多人，包括義大利羅馬薩賓扎大學的阿梅利諾–卡梅利亞（Giovanni Amelino-Camelia）、英國倫敦大學帝國學院的馬逵荷（Joao Magueijo），以及我本人，已經導出了愛因斯坦理論的修正版本，可以容許高能光子有不同的行進速率。我們的理論主張，原來狹義相對論中，那個不變的 光速是能量非常低（或是波長非常長）的光子，才具有的速率。
離散時空的另一個可能的效應，牽涉到極高能量的宇宙射線。30多年前，就曾有學者預測，宇宙射線中能量超過3×1019電 子伏特的質子，會被充塞於空間中的微波背景輻射所散射，因此永遠到不了地球。令人困惑的是，日本一個叫做「明野廣域空氣粒子雨觀測裝置」（AGASA）的 實驗，已經偵測到多於10個能量高於這個上限的宇宙射線。原來空間的離散結構，居然能提高散射反應所需的能量，而允許更高能量的宇宙射線質子到達地球。因 此如果AGASA的觀測持續下去，而且找不到其他的解釋，那麼我們也許早就偵測到空間的離散性而不自知了。
Towards a new test of general relativity?
